Análisis completo de Georgia Lottery

12 pruebas estadísticas con 3.639 sorteos y 10.917 números. 2 de 12 dieron señal (p < 0,01). Con 12 pruebas, que alguna salga por casualidad pasa en ~11 % de los casos.

Pruebas estadísticas de Georgia Lottery
PruebaEstadísticoValor pResultado
Frecuencia de los 100 númerosχ² = 132,0 · gl 990,01Normal
Frecuencia en 1raχ² = 110,5 · gl 990,20Normal
Frecuencia en 2daχ² = 90,8 · gl 990,71Normal
Frecuencia en 3raχ² = 135,4 · gl 990,009Señal
Bombo de las decenasχ² = 5,4 · gl 90,80Normal
Bombo de las unidadesχ² = 28,9 · gl 9< 0,001Señal
Decenas y unidades, independientesχ² = 96,8 · gl 810,11Normal
Memoria (¿importa cuánto lleva sin salir?)χ² = 6,1 · gl 70,53Normal
Repetición del sorteo anteriorz = 0,110,92Normal
Tendencia de los últimos 90 díasΣz² = 108,3 · gl 990,24Normal
Pares que salen juntos (palé)χ² = 5.025 · gl 4.9490,22Normal
Rachas de pares e impares en 1raz = 0,850,40Normal
¿Qué tan buenas son estas probabilidades?

Pusimos a competir 6 modelos en los últimos 1.500 sorteos. Antes de cada sorteo, cada modelo dio la probabilidad de los 100 números usando solo lo anterior, y se calificó con lo que pasó. El mejor fue «Bayes por posición (el de los números del día)», con una mejora de 0,009 % sobre el azar: prácticamente nada.

Competencia de modelos
ModeloPérdida logarítmicaMejora (log)Mejora (Brier)
Azar puro (2,97 % cada número)0,13370——
Bayes con todo el historial0,13369+0,002 %+0,001 %
Bayes por posición (el de los números del día)0,13369+0,009 %+0,002 %
Bayes con lo reciente (vida media 30 días)0,13370+0,000 %+0,000 %
Bayes con lo reciente (vida media 90 días)0,13370+0,000 %+0,000 %
Bayes con lo reciente (vida media 1 año)0,13370+0,000 %+0,000 %
Calibración del modelo de los números del díaCuando el modelo dijo una probabilidad (eje de abajo), ¿con qué frecuencia salió de verdad el número (eje de la izquierda)? Si los puntos caen sobre la diagonal, las probabilidades son honestas.
2,5 %2,5 %3,7 %3,7 %4,9 %4,9 %

L = −(1⁄n) Σ [y ln p + (1 − y) ln(1 − p)]  ·  B = (1⁄n) Σ (p − y)²  ·  mejora = 1 − Lmodelo ⁄ Lazar

¿Qué tan lejos del azar está?Curva de lo que da el azar puro (χ² con 99 grados de libertad) y lo observado en los 100 números. Si la línea roja cae en la zona normal, no hay sesgo. Valor p = 0,01. Entropía de Shannon: 6,635 de 6,644 bits (99,87 % del máximo).
observado: 132,099 (lo típico)43169

χ² = Σ (Oᵢ − Eᵢ)² ⁄ Eᵢ  ·  H = −Σ pᵢ log₂ pᵢ

¿Importa cuánto lleva sin salir?Probabilidad de que un número salga según los sorteos que lleva sin salir. Si los "atrasados" fueran reales, los puntos subirían hacia la derecha. Línea: 2,97 % (azar). Valor p = 0,53.
3,0 %012–34–78–1516–3132–6364–127128+

h(g) = salidas con g sorteos sin salir ⁄ veces que estuvo g sorteos sin salir  ·  azar: P(G = g) = (1 − p)g−1 p

Los dos bombosPrimer dígito (decenas, p = 0,80) y último dígito (unidades, p < 0,001). Independencia entre ellos: p = 0,11.

Decenas (primer dígito)

Por azar, cada decena sale unas 1092 veces (línea punteada). Dentro de la franja gris es normal: todas están dentro.

esperado: 1092Del 00 al 091043Del 10 al 191097Del 20 al 291069Del 30 al 391106Del 40 al 491082Del 50 al 591107Del 60 al 691074Del 70 al 791091Del 80 al 891129Del 90 al 991119

Unidades (último dígito)

Por azar, cada terminación sale unas 1092 veces (línea punteada). Dentro de la franja gris es normal; 3 quedan fuera, algo que con 10 barras pasa a menudo.

esperado: 1092Termina en 01127Termina en 11106Termina en 2994Termina en 31128Termina en 41093Termina en 51112Termina en 61068Termina en 71007Termina en 81197Termina en 91085

χ²ind = Σ (Odu − RdCu⁄N)² ⁄ (RdCu⁄N), gl = 81

¿Se repite el sorteo anterior?En cuántos sorteos salió algún número del sorteo anterior del mismo tipo, frente a lo que da el azar. Valor p = 0,92.
8,6 %0ObservadoAzar

E = Σ [1 − (1 − |Sₜ₋₁|⁄100)³]  ·  z = (O − E) ⁄ √Σ q(1 − q)

¿Hay números "en racha"?Para cada número, cuánto cambió su frecuencia en los últimos 90 días frente al resto (en desviaciones estándar). Si hubiera rachas reales, las barras se saldrían de la curva normal. Valor p = 0,24.
-3-2-10+1+2+3

z = (r₉₀ − rresto) ⁄ √(p̄(1 − p̄)(1⁄n₉₀ + 1⁄nresto))  ·  Σz² ~ χ²₉₉

¿Hay palés que salen más?Cuántos de los 4.950 pares posibles salieron juntos 0, 1, 2… veces (barras), frente a la distribución de Poisson del azar (línea), con λ = 2,16. Valor p = 0,22.
02468

P(k) = λᵏ e−λ ⁄ k!  ·  λ = pares ⁄ 4.950

Rachas de pares e imparesVeces que la 1ra cambió de par a impar (o al revés) frente a lo esperado por azar (prueba de Wald-Wolfowitz). Valor p = 0,40.
1.8200ObservadoAzar

μ = 2n₁n₂⁄n + 1  ·  σ² = 2n₁n₂(2n₁n₂ − n) ⁄ (n²(n − 1))  ·  z = (R − μ) ⁄ σ

Cada prueba compara lo observado con lo que daría un sorteo justo. Un valor p alto (cerca de 1) significa "normal"; uno muy bajo (menos de 0,01) es una señal que conviene vigilar. Ninguna prueba dice qué número saldrá.